Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F與P（2，-1）關于直線l：x-y-2=0對稱，中心在坐標原點的橢圓經過兩點M（1，

7

2

），N（-

2

，

6

2

），且拋物線與橢圓交于兩點A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．
（1）求出拋物線方程與橢圓的標準方程；
（2）若直線l′與拋物線相切于點A，試求直線l′與坐標軸所圍成的三角形的面積；
（3）若（2）中直線l′與圓x²-2mx+y²+2y+m²-

24

25

=0恒有公共點，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為mx²+ny²=1，因為橢圓經過兩點M（1，

7

2

），N（-

2

，

6

2

），所以可得

m+ 7 4 n=1，① 2m+ 6 4 n=1．②

由①與②消去m可得n=

1

2

，由此能求出拋物線方程與橢圓的標準方程．
（2）由

x2=4y x2 8 + y2 2 =1

得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合題意，舍去），當y=1時，得x=±2，因為x_A＜x_B，所以A（-2，1），對y=

1

4

x²求導，得y′=

1

2

x，所以直線l′的方程為x+y+1=0，由此能求出直線l′與坐標軸所圍成的三角形的面積．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-

24

25

=0得（x-m）²+（y+1）²=

49

25

，其圓心坐標為（m，-1），半徑r=

7

5

，要使直線l′與圓x²-2mx+y²+2y+m²-

24

25

=0恒有公共點，則需滿足（m，-1）到直線l′：x+y+1=0的距離d≤

7

5

，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）設橢圓的方程為mx²+ny²=1，
因為橢圓經過兩點M（1，

7

2

），N（-

2

，

6

2

），
所以可得

m+ 7 4 n=1，① 2m+ 6 4 n=1．②

由①與②消去m可得n=

1

2

，③
將③代入①得m=

1

8

，
故所求橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，

p

2

），依題意得直線FP與直線l：x-y-2=0互相垂直，所以直線FP的斜率為-1，則k_FP=

-1- p 2

2-0

=-1，解得p=2，所以x²=4y．
（2）由

x2=4y x2 8 + y2 2 =1

得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合題意，舍去），
當y=1時，得x=±2，因為x_A＜x_B，所以A（-2，1），對y=

1

4

x²求導，得y′=

1

2

x，所以y′|_x=-2=-1，所以直線l′的方程為y-1=-1×（x+2），即x+y+1=0，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，所以直線l′與坐標軸所圍成的三角形的面積為S=

1

2

×|-1|×|-1|=

1

2

．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-

24

25

=0得（x-m）²+（y+1）²=

49

25

，其圓心坐標為（m，-1），半徑r=

7

5

，
要使直線l′與圓x²-2mx+y²+2y+m²-

24

25

=0恒有公共點，則需滿足（m，-1）到直線l′：x+y+1=0的距離d≤

7

5

，即d=

|m-1+1|

1+1

≤

7

5

，得-

7 2

5

≤m≤

7 2

5

，
即m的取值范圍為[-

7 2

5

，

7 2

5

]．

點評：本題考查直線 與圓錐曲線的位置關系的綜合運用，具有一定的難度，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化．