Question

（2013•蘭州一模）選修4-1：《幾何證明選講》
已知：如圖，⊙O為△ABC的外接圓，直線l為⊙O的切線，切點為B，直線AD∥l，交BC于D、交⊙O于E，F為AC上一點，且∠EDC=∠FDC．求證：
（Ⅰ）AB²=BD•BC；
（Ⅱ）點A、B、D、F共圓．

Answer 1

分析：（I）利用直線l為⊙O的切線，可得∠1=∠ACB．利用AD∥l，可得∠1=∠DAB．于是∠ACB=∠DAB，即可得出△ABC∽△DAB．利用相似三角形的性質可得

AB

DB

=

BC

AB

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．已知∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，可得∠BAC=∠FDC．即可得出點A、B、D、F共圓．

解答：證明：（I）∵直線l為⊙O的切線，∴∠1=∠ACB．
∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．
∴∠ACB=∠DAB，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DAB．
∴

AB

DB

=

BC

AB

．
∴AB²=BD•BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．
∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，
∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°．
∴點A、B、D、F共圓．

點評：熟練掌握圓的切線的性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、四點共圓的判定與性質等是解題的關鍵．