Question

（2013•蘭州一模）在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為

x= 3 cosα y=sinα

．
（1）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為(4，

π

2

)，判斷點P與直線l的位置關系；
（2）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）由曲線C的參數方程為

x= 3 cosα y=sinα

，知曲線C的普通方程是

x2

3

+y2=1，由點P的極坐標為(4，

π

2

)，知點P的普通坐標為（4cos

π

2

，4sin

π

2

），即（0，4），由此能判斷點P與直線l的位置關系．
（2）由Q在曲線C：

x= 3 cosα y=sinα

上，（0°≤α＜360°），知Q(

3

cosα，sinα)到直線l：x-y+4=0的距離d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

2

2

|2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直線l的距離的最小值．

解答：解：（1）∵曲線C的參數方程為

x= 3 cosα y=sinα

，
∴曲線C的普通方程是

x2

3

+y2=1，
∵點P的極坐標為(4，

π

2

)，
∴點P的普通坐標為（4cos

π

2

，4sin

π

2

），即（0，4），
把（0，4）代入直線l：x-y+4=0，
得0-4+4=0，成立，
故點P在直線l上．
（2）∵Q在曲線C：

x= 3 cosα y=sinα

上，（0°≤α＜360°）
∴Q(

3

cosα，sinα)到直線l：x-y+4=0的距離：
d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

2

2

|2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°）
∴dmin=

2

2

|4-2|=

2

．

點評：本題考查橢圓的參數方程和點到直線距離公式的應用，解題時要認真審題，注意參數方程與普通方程的互化，注意三角函數的合理運用．