Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=

1

2

CD=1，PD⊥面ABCD，PD=

2

，E是PC的中點(diǎn)
（1）證明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

（1）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、AF，
∵E為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）分別以DA、DB、DP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
可得B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，

2

），E（0，1，

2

2

）
∴

DB

=（1，1，0），

BE

=（-1，0，

2

2

）
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BDE的一個(gè)法向量，則

n • DB =x+y=0 n • BE =-x+ 2 2 z=0

取x=1，得y=-1，z=

2

，

n

=（1，-1，

2

）
∵平面ABCD的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

2

2

，可得＜

m

，

n

＞=45°
因此，二面角E-BD-C的大小為45°．