Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥CD；
（2）若AD=3，AC=

15

，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC；根據切線的性質知：OC⊥CD；因此只需證OC∥AD即可．已知AC平分∠BAD，即∠DAC=∠BAC，等腰△OAC中，∠OAC=∠OCA，等量代換后可得出OC、AD的內錯角相等，由此得證．
（2）連接BC，證△ADC∽△ACB，根據相似三角形得出的對應邊成比例線段，可將AB的長求出．

解答：證明：（1）連接OC，
∵直線CD與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC．
∴∠DAC=∠OCA．
∴OC∥AD．
∴AD⊥CD．
解：（2）連接BC，則∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC．
∴△ADC∽△ACB．
∴

AD

AC

=

AC

AB

．
∴AB=

AC2

AD

=

( 15 )2

3

=5．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．