Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點（異于A、B），過動點C的直線VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點．
（1）求證：直線ED⊥平面VBC；
（2）若VC=AB=2BC，求直線EO與平面VBC所成角大小的正切值．

Answer 1

分析：（1）由D、E分別為VA、VC的中點得到DE∥AC，由已知條件證出AC⊥平面VBC，從而問題得證；
（2）取BC的中點K，可得OK⊥平面VBC，則EK是斜線EO在平面VBC上的射影，∴∠OEK就是所求線面角的大小，然后解直角三角形克的結論．

解答：（1）證明：如圖，
∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，
又∵VC垂直于⊙O所在的平面，∴AC⊥VC，
而BC∩VC=C，∴AC⊥平面VBC．
又∵D、E分別為VA、VC的中點，∴DE是△VCA的中位線，
∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC．
（2）解：設VC=AB=2BC=2a，取BC得重點K，
在正△OBC中，OK=

3

2

a，且OK∥AC，OK⊥平面VBC
∴EK是斜線EO在平面VBC上的射影，∴∠OEK就是所求線面角的大小，
而EK是RT△VBC的中位線，∴EK=

5

2

a，
∴tan∠OEK=

OK

EK

=

3 2 a

5 2 a

=

15

5

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了直線與平面所成的角，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．