Question

【題目】【南京市、鹽城市2017屆高三年級第二次模擬】（本小題滿分16分）

如圖，在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的橢圓C：＋＝1經過點(b，2e)，其中e為橢圓C的離心率．過點T(1，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(A在x軸下方)．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M，N，求的值；

（3）記直線l與y軸的交點為P．若＝，求直線l的斜率k．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因為橢圓 ＋＝1經過點(b，2e)，所以＋＝1．

因為e2＝＝，所以＋＝1．

因為a2＝b2＋c2，所以 ＋＝1． …………………… 2分

整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ．

所以橢圓C的方程為＋＝1． …………………… 4分

（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為T(1，0)，則直線l的方程為y＝k(x－1)．

聯立直線l與橢圓方程

消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，

所以 x1＋x2=4k2 / (2k2＋1), x1x2= (2k2－8) / (2k2＋1) ……………… 6分

因為MN∥l，所以直線MN方程為y＝kx，

聯立直線MN與橢圓方程

消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝．

因為MN∥l，所以 ＝． …………………… 8分

因為 (1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝ ，

(xM－xN)2＝4x2＝，

所以 ＝＝·＝． ………………… 10分

（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，則y＝－k，所以P(0，－k)，

從而 ＝(－x1,－k－y1)， ＝(x2－1，y2)．

因為 ＝，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．…………………… 12分

由(2)知， x1＋x2=4k2 / (2k2＋1),

因為x1x2＝， 所以 ×＝，

整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－ (舍) ．

又因為k＞0，所以k＝． …………………… 16分