Question

【題目】【2017南通一模19】已知函數。

（1）當時，求函數的最小值；

（2）若，證明：函數有且只有一個零點；

（3）若函數又兩個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）當時，，

所以，

令=0，得，

當時，<0，當時，>0，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以當時，有最小值；

（2）由，得：

所以當時，，函數在上單調遞減，

所以當時，函數在上最多有一個零點，

又當時，，

所以當時，函數在上有零點，

綜上，當時，函數有且只有一個零點；

（3）由（2）知：當時，函數在上最多有一個零點，

因為函數有兩個零點，所以，9分

由，得：

令，因為，

所以函數在上有且只有一個零點，設為，

當時，<0，<0，當時，>0，>0，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

要使得函數在上有兩個零點，只需要函數的最小值，

即，又因為，

消去得：，

又因為在上單調遞增，且，所以>1，

則，因為，所以，

所以2在上單調遞增，所以，13分

以下驗證當時，函數有兩個零點。

當時，，所以，

因為，且，

所以函數在上有一個零點，

又因為（因為），且，

所以函數在上有一個零點，

所以當時，函數在上有兩個零點。

綜上，實數的取值范圍是。1