Question

已知函數f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

2

，若將函數f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象
（1）求函數g（x）的解析式
（2）求x為何值時，函數g（x）的值最大且最大值為多少？
（3）求g（x）單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可取得函數g（x）的解析式；
（2）由

1

2

x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函數g（x）的值最大時x的取值；
（3）由正弦函數的單調性可知，由2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），即可求得g（x）單調遞減區間．

解答：解：（1）∵f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

2

，
∴f（x-

π

3

）=sin[（x-

π

3

）+

π

6

]+

3

2

=sin（x-

π

6

）+

3

2

；
再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

；
∴經過題設的變化得到的函數g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

；
（2）由

1

2

x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=4kπ+

4π

3

，k∈Z
∴當x=4kπ+

4π

3

，k∈Z時，函數取得最大值

5

2

；
（3）令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
得4kπ+

4π

3

≤x≤4kπ+

10

3

π，k∈Z
∴g（x）單調遞減區間為[4kπ+

4π

3

，4kπ+

10

3

π]，k∈Z．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．