Question

（理）已知函數f(x)= -lnx,x∈[1,3].
(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值；
(Ⅱ)若f(x)＜4-At對于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實數A的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)求f(x)的最大值為最小值為；(Ⅱ)A<.

解析試題分析：（1）直接求出函數的導數，通過導數為0，求出函數的極值點，判斷函數的單調性，利用最值定理求出f（x）的最大值與最小值；
（2）利用（1）的結論，f（x）＜4-At于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，轉化為4-At＞對任意t∈[0，2]恒成立，通過　求實數A的取值范圍．
試題解析：（1）因為函數f（x）=﹣lnx，
所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因為x∈[1，3]，
當1＜x＜2時  f′（x）＜0；當2＜x＜3時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上單調減函數，在（2，3）上單調增函數，
∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=﹣ln2；
又f（1）=，f（3）=，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1時 f（x）的最大值為，
x=2時函數取得最小值為﹣ln2．
（2）由（1）知當x∈[1，3]時，f（x），
故對任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞對任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立
記 g（t）=At，t∈[0，2]
∴，解得A，
∴實數A的取值范圍是（﹣∞，）．
考點：1、利用導數求閉區間上函數的最值；2、利用導數研究函數的單調性．