Question

【題目】已知函數， .

（1）討論函數的單調區間；

（2）求證： ；

（3）求證：當時， ， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在上單調遞增；當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)求函數的導數,對討論,分當時,當時,令導數大于0,得增區間,令導數小于0,得減區間;
(2) 令，由（1）可知，函數的最小值為，不等式得證;

(3)構造函數，證明其最小值大于等于0即可.

試題解析：（1），

（ⅰ）當時， ，函數在上單調遞增；

（ⅱ）當時，令，則，

當，即時，函數單調遞增；

當，即時，函數單調遞減.

綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（2）證明：令，由（1）可知，函數的最小值為，∴，即.

（3）證明： 恒成立與恒成立等價，

令，即，則，

當時， （或令，則在上遞增，∴，∴在上遞增，∴，∴）

∴在區間上單調遞增，

∴，

∴恒成立.

點晴:本題主要考查函數單調性，不等式恒成立，及不等式的證明問題.要求單調性，求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調區間，要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.