Question

（08年赤峰二中模擬理）設函數f(x) = lnx - ax + 1.

(Ⅰ) 若函數f(x)為單調函數, 求實數a 的取值范圍;

(Ⅱ) 當a > 0時, 恒有f(x) £ 0, 求a的取值范圍;

(Ⅲ) 證明: ( n Î N, n ³ 2).

Answer 1

解析：(Ⅰ) f (x)的定義域為 (0, + ¥),  f ¢(x) =- a .

若函數f(x)為單調遞增函數, 則f ¢(x) =- a ³ 0 (x > 0)恒成立,  ∴ a £ 0;

若函數f(x)為單調遞減函數, 則f ¢(x) =- a £ 0 (x > 0)恒成立,  此時a不存在,

因此, a的取值范圍是(- ¥, 0].

(Ⅱ)當a > 0時，令f ¢(x) =0, 得x =Î (0, + ¥), f ¢(x) 、f (x)隨x的變化情況如下表:

x	(0,)		(, + ¥)
f ¢(x)	＋	0	－
f (x)	遞增	極大值	遞減

所以,  f(x)在x =處取得極大值f() = ln,

因為, 當a > 0時，f(x)有唯一的極大值點x =, 所以, 此極大值也是最大值.

要使f(x) £ 0恒成立, 只需f() = ln£ 0, 解得 a ³ 1,

∴ a的取值范圍是[1, + ¥).  

(Ⅲ) 證明: 令a = 1, 由(Ⅱ) 知 lnx - x + 1 £ 0, ∴lnx £ x - 1,

當n Î N, n ³ 2時, lnn² £ n² - 1,

∴         

∴

      £

=

      <

      =

=

=.