Question

（08年赤峰二中模擬理） 已知F₁(- 2, 0), F₂ (2, 0), 點P滿足| PF₁| - | PF₂| = 2, 記點P的軌跡為E.

(Ⅰ) 求軌跡E的方程；

(Ⅱ) 若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點,

①無論直線l繞點F₂怎樣轉動, 在x軸上總存在定點M(m, 0), 使MP ^ MQ恒成立, 求實數m的值;

②過P、Q作直線x =的垂線PA、QB, 垂足分別為A、B, 記l =, 求l的取值范圍.

Answer 1

解析：(Ⅰ)由| PF₁| - | PF₂| = 2 < | F₁F₂| , 知點P的軌跡E是以F₁, F₂為焦點的雙曲線右支,

由c = 2, 2a = 2, 得b² = 3,

故軌跡E的方程為x² -= 1(x ³ 1).     

(Ⅱ)當直線l的斜率存在時, 設直線方程為y = k(x - 2), P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂),

由,   得: (k² - 3)x² - 4k²x + 4k² + 3 = 0,

∴, 解得k² > 3,                         

①

   = (x₁ - m)(x₂ - m) +y₁y₂

   = (k² +1)x₁x₂ - (2k² + m)(x₁ + x₂) + m² + 4k²

=+ m²,

∵ MP ^ MQ,

∴= 0,

故3(1 - m²) + k²(m² - 4m -5) = 0對任意的k² > 3恒成立,

∴ , 解得m = - 1,

∴ 當m = - 1時, MP ^ MQ,      

當直線l的斜率不存在時, 由P(2, 3), Q(2, - 3)及M(- 1, 0), 知結論也成立,

綜上, 當m = - 1時, MP ^ MQ.                                   

② ∵ a = 1, c = 2,

∴ 直線x =是雙曲線右準線,

由雙曲線定義得 | PA | =| PF₂ | =| PF₂ | , | QB | =| QF₂ |,

∴

∵ k² > 3,

∴ , 故,

注意到直線l的斜率不存在時, |PQ| = |AB|, 此時l =.

        綜上, l Î .