Question

對于函數(shù)f（x）=

sinx ，sinx≤cosx cosx ，sinx＞cosx

，給出下列四個命題：
①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=π+kπ（k∈Z）時，該函數(shù)取得最小值-1；
③該函數(shù)的圖象關(guān)于x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）對稱；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜

π

2

+2kπ（k∈Z）時，0＜f（x）≤

2

2

．
其中正確命題的序號是

 

．（請將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：由題意作出此分段函數(shù)的圖象，由圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)判斷四個命題的真假，此函數(shù)取自變量相同時函數(shù)值小的那一個，由此可順利作出函數(shù)圖象．

解答：解：由題意函數(shù)f（x）=

sinx ，sinx≤cosx cosx ，sinx＞cosx

，畫出f（x）在x∈[0，2π]上的圖象．
由圖象知，函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，
在x=π+2kπ（k∈Z）和x=

3π

2

+2kπ（k∈Z）時，該函數(shù)都取得最小值-1，故①②錯誤，
由圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）對稱，
在2kπ＜x＜

π

2

+2kπ（k∈Z）時，0＜f（x）≤

2

2

，故③④正確．
故答案為   ③④

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，本題是函數(shù)圖象的運(yùn)用，由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，并以由圖象研究出的結(jié)論判斷和函數(shù)有關(guān)的命題的真假．