Question

用單調性定義證明函數f(x)=x+

1

x

在區間[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：任取區間[1，+∞）上兩個實數a，b，且a＜b，判斷f（a）-f（b）的符號，進而得到f（a），f（b）的大小，根據單調性的定義即可得到答案．

解答：證明：任取區間[1，+∞）上兩個實數a，b，且a＜b
則a-b＜0，ab＞1，ab-1＞0
則f（a）-f（b）=（a+

1

a

）-（b+

1

b

）
=a-b+

1

a

-

1

b

=a-b+

b-a

ab

=（a-b）（1-

1

ab

）=

(a-b)(ab-1)

ab

＜0
即f（a）＜f（b）
故函數f(x)=x+

1

x

在區間[1，+∞）上是增函數

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，利用定義法（作差法）證明單調性的步驟是：設元→作差→分解→斷號→結論．