Question

【題目】已知a是實數，函數．

（1）若，求a的值及曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數在區間上的單調性．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）化簡并對其求導，由的值構建方程，求得a，進而由點斜式表示切線方程；

（2）對求導，令，表示兩根，利用分類討論含參數的根所在區間，從而得其導函數的正負關系，即原函數的單調性對應增減.

（1），，

則，，，，

因此，曲線在點處的切線方程為，即；

（2），，

令，得，．

①當時，即當時，對任意的，，

此時，函數在區間上單調遞增．

②當時，即當時，

此時，當，則；

當時，．

此時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

③當時，即當時，對任意的，．

此時，函數在區間上單調遞減．

綜上所述，當時，函數在區間上單調遞增；

當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

當時，函數在區間單調遞減．