Question

在等邊△ABC中，AB=6cm，長為1cm的線段DE兩端點D，E都在邊AB上，且由點A向點B運動（運動前點D與點A重合），FD⊥AB，點F在邊AC或邊BC上；GE⊥AB，點G在邊AC或邊BC上，設AD=xcm．
（1）若△ADF面積為S₁=f（x），由DE，EG，GF，FD圍成的平面圖形面積為S₂=g（x），分別求出函數f（x），g（x）的表達式；
（2）若四邊形DEGF為矩形時x=x₀，求當x≥x₀時，設，求函數F（x）的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①當0＜x≤3時，F在邊AC上，，
∴；
當3＜x≤5時，F在邊BC上，，
∴
∴
②當0＜x≤2時，F、G都在邊AC上，，
∴；
當2＜x≤3時，F在邊AC上，G在邊BC上，，
∴；
當3＜x≤5時，F、G都在邊BC上，，
∴
∴
（2）
①當時，，
∴
②當3≤x≤5時，，
∵
∴
∴F（x）的取值范圍為．
分析：（1）當0＜x≤3時，F在邊AC上，當3＜x≤5時，F在邊BC上，分別求出△ADF面積即可得到函數f（x）的表達式，當0＜x≤2時，F、G都在邊AC上，當2＜x≤3時，F在邊AC上，G在邊BC上，當3＜x≤5時，F、G都在邊BC上分別求出由DE，EG，GF，FD圍成的平面圖形面積即可得到g（x）的表達式；
（2）根據四邊形DEGF為矩形求出x₀，討論x求出F（x）的解析式，然后根據函數的單調性可求出函數F（x）的取值范圍．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用導數研究函數的值域，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．