Question

在等邊△ABC中，AB=6cm，長為1cm的線段DE兩端點D，E都在邊AB上，且由點A向點B運動（運動前點D與點A重合），FD⊥AB，點F在邊AC或邊BC上；GE⊥AB，點G在邊AC或邊BC上，設AD=xcm．
（1）若△ADF面積為S₁=f（x），由DE，EG，GF，FD圍成的平面圖形面積為S₂=g（x），分別求出函數f（x），g（x）的表達式；
（2）若四邊形DEGF為矩形時x=x₀，求當x≥x₀時，設F(x)=

f(x)

g(x)

，求函數F（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當0＜x≤3時，F在邊AC上，當3＜x≤5時，F在邊BC上，分別求出△ADF面積即可得到函數f（x）的表達式，當0＜x≤2時，F、G都在邊AC上，當2＜x≤3時，F在邊AC上，G在邊BC上，當3＜x≤5時，F、G都在邊BC上分別求出由DE，EG，GF，FD圍成的平面圖形面積即可得到g（x）的表達式；
（2）根據四邊形DEGF為矩形求出x₀，討論x求出F（x）的解析式，然后根據函數的單調性可求出函數F（x）的取值范圍．

解答：解：（1）①當0＜x≤3時，F在邊AC上，FD=xtan600=

3

x，
∴f(x)=

3

2

x2；
當3＜x≤5時，F在邊BC上，FD=(6-x)tan600=

3

(6-x)，
∴f(x)=

3

2

x(6-x)
∴f(x)=

3 2 x2，0＜x≤3 3 2 x(6-x)，3＜x≤5

（4分）
②當0＜x≤2時，F、G都在邊AC上，FD=xtan600=

3

x，EG=

3

(x+1)
∴g(x)=

3 x+ 3 (x+1)

2

•1=

3

x+

3

2

；
當2＜x≤3時，F在邊AC上，G在邊BC上，FD=

3

x，EG=

3

(5-x)
∴g(x)=

5 3

2

；
當3＜x≤5時，F、G都在邊BC上，FD=

3

(6-x)，EG=

3

(5-x)
∴g(x)=-

3

x+

11

2

3

∴g(x)=

3 x+ 3 2 ，0＜x≤2 5 3 2 ，2＜x≤3 - 3 x+ 11 2 3 ，3＜x≤5

（10分）
（2）x0=

5

2

（11分）
①當

5

2

≤x≤3時，F(x)=

x2

5

，
∴

5

4

≤F(x)≤

9

5

（13分）
②當3≤x≤5時，F(x)=

x2-6x

2x-11

，
∵F′(x)=

2x2-22x+66

(2x-11)2

＞0
∴

9

5

≤F(x)≤5
∴F（x）的取值范圍為[

5

4

，5]．（16分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用導數研究函數的值域，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．