Question

【題目】對于函數f(x)(x∈D)，若x∈D時，均有f′(x)<f(x)成立，則稱函數f(x)是J函數．

(Ⅰ)當函數f(x)＝x2＋m(ex＋x)，x≥e是J函數時，求實數m的取值范圍；

(Ⅱ)若函數g(x)為R＋上的J函數，試比較g(a)與ea－1g(1)的大小．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)m> (Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：（1）根據J函數的定義，解不等式f'（x）>f（x），通過這個不等式，我們可以求出m的取值范圍，
（2）根據函數g（x）為（0，+∞）上的J函數，構造函數h(x)＝，利用函數的單調性進行判斷．

試題解析：(Ⅰ)由f(x)＝x2＋m(ex＋x)，x≥e得f′(x)＝2x＋m(ex＋1)，x≥e，

由f′(x)<f(x)得2x＋m(ex＋1)<x2＋m(ex＋x)，

∴m(x－1)>2x－x2，又x≥e，∴m>，

令y＝，則y′＝<0，

又x≥e，∴ymax＝，∴m>.

(Ⅱ)構造函數h(x)＝，x∈R＋，

則h′(x)＝<0，可得h(x)為R＋上的減函數．

當a>1時，h(a)<h(1)，

即，得g(a)<ea－1g(1)；

當0<a<1時，h(a)>h(1)，即，

得g(a)>ea－1g(1)；

當a＝1時，h(a)＝h(1)，即，得g(a)＝ea－1g(1).