Question

已知函數f(x)＝ln x＋2x－6.
(1)證明：函數f(x)有且只有一個零點；
(2)求該零點所在的一個區間，使這個區間的長度不超過

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)是增函數．
∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)上至少有一個零點．
又因f(x)在(0，＋∞)上是增函數，
從而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點．
(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0.
∴f(x)的零點x₀∈(2,3)．
取x₁＝，∵f＝ln －1＝ln－ln e<0，∴f·f(3)<0，∴x₀∈.
取x₂＝，∵f＝ln －＝ln －ln e >0，∴f·f<0.
∴x₀∈且＝≤，∴即為符合條件的區間．