Question

已知函數f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．
(1)當a＝3時，求函數f(x)的單調區間；
(2)若對于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求實數a的取值范圍；
(3)若過點可作函數y＝f(x)圖象的三條不同切線，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1) 單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 和；(2) ；(3)

試題分析：(1)求導，令導數大于0得增區間令導數小于0得減區間。(2) 對于任意都有成立，轉化為對于任意都有。求時可根據求導求單調性求最值，也可直接根據二次函數問題求其單調區間再求其最值。(3)先在曲線上任取一點，根據導數的幾何意義求其過此點的切線的斜率，再用點斜式求切線方程。將代入直線方程。分析可知此方程應有3個不同的解。將上式命名新函數，用單調性求此函數的極值點可知一個極值應大于0，另一個極值應小于0.
試題解析：(1)當時，函數，
得．                            1分
所以當時，，函數f(x)單調遞增；                    2分
當x＜1或x＞2時，，函數f(x)單調遞減．                      3分
所以函數的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 和 ．4分
(2)由，得，            5分
因為對于任意都有成立，
所以問題轉化為對于任意都有．          6分
因為，其圖象開口向下，對稱軸為.
①當，即時，在上單調遞減，
所以，
由，得，此時.                 7分
②當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
由，得，此時.                 8分
綜上可得，實數的取值范圍為 ．                   9分
(3)設點是函數圖象上的切點，
則過點的切線的斜率，                    10分
所以過點P的切線方程為，     11分
因為點在該切線上，
所以，
即.
若過點可作函數圖象的三條不同切線，
則方程有三個不同的實數解．                    12分
令，則函數的圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點．
令，解得或.
因為，，                     13分
所以必須，即.
所以實數的取值范圍為 ．                             14分