Question

已知函數(shù)f(x)=

(3a-1)x+5a，x＜1 logax，x≥1

，現(xiàn)給出下列命題：
①當(dāng)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，則a=

1

8

；
②當(dāng)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，能找到一個(gè)非零實(shí)數(shù)a，使得f（x）在R上是增函數(shù)；
③當(dāng)a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時(shí)，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④當(dāng)a=

1

4

時(shí)，則方程f（x²+1）-f（2x+4）=0的解集為{-1，3}；
⑤函數(shù) y=f（|x+1|）是偶函數(shù)．
其中正確的命題是（　　）

Answer 1

分析：當(dāng)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)

lim

x→1-

f（x）=

lim

x→1-

[（3a-1）x+5a]=8a-1=

lim

x→1+

f（x）=

lim

x→1+

log_a x=0，解方程后可判斷①；
由①中結(jié)論，判斷f （x）在R上的單調(diào)性，可判斷②；
當(dāng)a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時(shí)，1+a＞1，1-a＜1，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0可化為[（3a-1）（1-a）+5a]•[log_a （1+a）]＜0，解不等式可判斷③；
當(dāng)a=

1

4

時(shí)，解方程f（x²+1）-f（2x+4）=0，可判斷④；
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù) y=f（|x+1|）的奇偶性，可判斷⑤

解答：解：

lim

x→1-

f（x）=

lim

x→1-

[（3a-1）x+5a]=8a-1，

lim

x→1+

f（x）=

lim

x→1+

loga x=0，
∵圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，
∴8a-1=0，a=

1

8

，故①正確；
當(dāng)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，
a=

1

8

，f （x）在R上是減函數(shù)，故②不正確；
當(dāng)a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時(shí)，1+a＞1，1-a＜1，
不等式f（1+a）•f（1-a）＜0可化為[（3a-1）（1-a）+5a]•[log_a （1+a）]＜0，
∵log_a （1+a）＜0，（3a-1）（1-a）+5a＞0恒成立
∴不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正確；
當(dāng)a=

1

4

時(shí)，則方程f（x²+1）-f（2x+4）=0可化為：
log

1

4

 （x²+1）-log

1

4

 （2x+4）=0，（x≥-

3

2

），解得x=3，x=-1
或log

1

4

 （x²+1）+

1

4

x-

5

4

=0，（x＜-

3

2

），此時(shí)方程無解
綜上原方程的解集為{-1，3}；故④正確；
函數(shù) y=f（|x+1|）是偶函數(shù)不成立．即⑤不正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題時(shí)要注意極限和連續(xù)的合理運(yùn)用．