Question

【題目】如圖所示，直四棱柱的側棱長為，底面是邊長的矩形，為的中點，

（1）求證：平面，

（2）求異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函數表示）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明EC⊥ED，再利用BC⊥平面CC1D1D，證明BC⊥DE，即可證明DE⊥平面EBC；

（2）取A1B1中點F，連接BF,DF,∠FBD即為所求異面直線的夾角（或其補角），確定△FBD為各邊長，根據余弦定理可求∠FBD余弦值，從而求異面直線BD與EC所成的角的大小．

(1)證明：∵直四棱柱的側棱長為,

底面ABCD是邊長AB=2a,BC=a的矩形,

為的中點，

∴EC=ED=a，CD=2a，

∴EC⊥ED,

∵BC⊥平面,DE平面，

∴BC⊥DE,

∵BC∩EC=C

∴DE⊥平面EBC.

(2)取A1B1中點F，連接BF,DF,

易得EC∥FB，

∴∠FBD即為所求異面直線的夾角(或其補角),

連接D1F，△DD1F為直角三角形，

∴，

∴，

又，

根據余弦定理,，

∴，

∴異面直線與所成的角的大小為.