Question

（2012•鷹潭模擬）已知函數(shù)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（-x）成立（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=

3

f(

3

)，b=(lg3)f(lg3)，  c=(log2

1

4

)f(log2

1

4

)，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）

A．c＞a＞b

B．c＞b＞a

C．a(chǎn)＞b＞c

D．a(chǎn)＞c＞b

Answer 1

分析：設(shè)F（x）=xf（x），根據(jù)題意得F（x）是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，由此比較

3

、lg3和2的大小，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，不難得到本題的答案．

解答：解：設(shè)F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（-x），且f（-x）=-f（x）
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴F（x）=xf（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函數(shù)．
∵0＜lg3＜lg10=1，

3

∈（1，2）
∴F（2）＞F（

3

）＞F（lg3）
∵log

1

2

4=-2，從而F（log

1

2

4）=F（-2）=F（2）
∴F（log

1

2

4）＞F（

3

）＞F（lg3）
即(log2

1

4

)f(log2

1

4

)＞

3

f(

3

)＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
故答案為：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，比較幾個(gè)函數(shù)值的大小．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式比較大小和函數(shù)單調(diào)性與奇偶性關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．