Question

已知橢圓C₁：=1和圓C：x²+y²=4，且圓C與x軸交于A₁，A₂兩點．
（1）設橢圓C₁的右焦點為F，點P的圓C上異于A₁，A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明；
（2）設點M（x，y）在直線x+y-3=0上，若存在點N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標原點），求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓方程可求得焦點坐標和右準線方程，設點P，代入圓方程求得x，y的關系，進而表示出直線PF，OQ的斜率，進而可推斷出直線OQ的方程，把x=2代入求得y，求得Q點的坐標，進而求得PQ的斜率的表達式，結果與OP的斜率乘積為-1，推斷出OP⊥PQ進而可知直線P與圓C相切
（2）設∠OMN=θ，則依題意可知θ≥60°，進而求得sinθ的范圍，根據ON=2確定OM的范圍，進而根據點M在直線l上，求得x，y的關系式，進而根據x²+y²≤，求得x的取值范圍．
解答：解：（1）直線P與圓C相切．
證明如下：易得橢圓C₁的右焦點為F（，0），
右準線為x=2
設點P（x，y）則有x²+y²=4，
又k_PF=，k_OQ=-
∴直線OQ的方程為y=x
令x=2，得y=-，
即Q（2，-）
∴k_PQ==-=-又k_OP=
于是有k_PQ•k_OP=-1，故OP⊥PQ，直線P與圓C相切
（2）如圖，設∠OMN=θ，則θ≥60°，
即sinθ≥，即≥，
而ON=2，∴OM≤
∵M（x，y），∴x²+y²≤，
又由M（x，y）∈l，得x+y=3，
∴y=3-x，于是有x²+（3-x）²≤，
整理，得6x²-18x+11≤0，
解得≤x≤
∴x的取值范圍是[，]
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，故應作為平時復習的重點．