Question

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點都在坐標原點O，C₁和C₂有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C₁的長軸長、短軸長及點F到C₁右準線的距離成等比數列．
（Ⅰ）當C₂的準線與C₁右準線間的距離為15時，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設過點F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點，交C₂于M，N兩點．當|MN|=8時，求|PQ|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意知C₂：y²=4cx．由條件知a=2c．C₁的右準線方程為x=4c．C₂的準線方程為x=-c．
由條件知c=3，a=6，b=3

3

．由此可知C₁：

x2

36

+

y2

27

=1，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由題設知l：y=x-c，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．由

y2=4cx y=x-c

，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由條件|MN|=8，得c=1．由此可知|PQ|=

2(x3-x4)2

=

2[( 8 7 )2+4• 8 7 ]

=

24

7

．

解答：解：（Ⅰ）設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其半焦距為c（c＞0）．則C₂：y²=4cx．
由條件知(2b)2=2a(

a2

c

-c)，得a=2c．C₁的右準線方程為x=

a2

c

，即x=4c．C₂的準線方程為x=-c．
由條件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=3

3

．
從而C₁：

x2

36

+

y2

27

=1，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由題設知l：y=x-c，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由

y2=4cx y=x-c

，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．
而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由條件|MN|=8，得c=1．
由（Ⅰ）得a=2，b=

3

．從而，C₁：

x2

4

+

y2

3

=1，即3x²+4y²=12．
由

3x2+4y2=12 y=x-1

，得7x²-8x-8=0．所以x3+x4=

8

7

，x3x4=-

8

7

．
故|PQ|=

2(x3-x4)2

=

2[( 8 7 )2+4• 8 7 ]

=

24

7

．

點評：本題考查了直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．