Question

已知f（x）=x+

m

x

（m∈R），
（1）若函數y=log 

1

2

[f（x）+2]在區間[1，+∞）上是減函數，求實數m的取值范圍．
（2）若m≤2，求函數g（x）=f（x）-lnx在區間[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據復合函數的單調性，判斷出f（x）在區間[1，+∞）上是增函數且f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，分別利用導數和恒成立問題求解，取交集即可求出實數m的取值范圍；
（2）求g′（x），根據g′（x）=0是否有根，對實數m分類討論，當無根時，g（x）單調遞增，求出最值，當有根時，分別求出兩個根，判斷其左右的單調性，確定出函數的最值．

解答：解：（1）∵函數y=log 

1

2

[f（x）+2]在區間[1，+∞）上是減函數，
又y=log 

1

2

x在[1，+∞）上為減函數，
∴y=f（x）+2在[1，+∞）上為減函數，即y=f（x）在[1，+∞）上為減函數，①
要使函數有意義，則f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，②
對于①，可得f′(x)=1-

m

x2

≥0在區間[1，+∞）上恒成立，
∴m≤x²在區間[1，+∞）上恒成立，
∴m≤1；
對于②，f（x）+2＞0區間[1，+∞）上恒成立，
∴[f（x）+2]_min＞0，而y=f（x）+2在[1，+∞）上為減函數，
∴[f（x）+2]_min=f（1）+2＞0，
∴m＞-3．
綜上所述，實數m的取值范圍是（-3，1]．
（2）∵g（x）=f（x）-lnx，
∴g(x)=x+

m

x

-lnx，則g′(x)=1-

m

x2

-

1

x

=

(x- 1 2 )2-(m+ 1 4 )

x2

，
①當m≤-

1

4

時，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）是[

1

2

，2]上的增函數，
∴g(x)min=g(

1

2

)=

1

2

+2m+ln2；
②當-

1

4

≤m≤2時，令g′（x）=0，解得，x1=

1

2

-

m+ 1 4

(＜

1

2

)，x2=

1

2

+

m+ 1 4

(∈[

1

2

，2])，
∵當x∈[

1

2

，x2]時，g′（x）≤0，當x∈[x₂，2]時，g′（x）≥0，
∴g（x）在[

1

2

，x2]上單調遞減，在[x₂，2]上單調遞增，
∴g(x)min=g(x2)=

1

2

+

m+ 1 4

+

m

1 2 + m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)=2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)．
綜合①②，當-

1

4

≤m≤2時，函數g（x）=f（x）-lnx在區間[

1

2

，2]上的最小值為：2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)．

點評：本題考查了復合函數的單調性以及利用導數求閉區間上函數的最值問題．復合函數的單調性的判斷要抓住“同增異減”的性質，特別要注意單調區間是定義域的子集，即函數必須在單調區間內有意義，是容易忽略的地方．屬于中檔題．