Question

選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|x-2|．
（I）解不等式：xf（x）+3＞0；
（II）對任意x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=|x-2|，知xf（x）+3＞0，x|x-2|+3＞0，由此進行分類討論，能求出xf（x）+3＞0的解集．
（II）由不等式f（x）＜m-|x|，知y=|x-2|+|x|=

-(x-2)-x，x≤0 -(x-2)+x，0＜x≤2 (x-2)+x，x＞2

，作出函數y=|x-2|+|x|的圖象，能推導出對任意x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|成立時，m的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=|x-2|，xf（x）+3＞0，
∴x|x-2|+3＞0，
當x≥2時，不等式為x²-2x+3＞0，
即（x-1）²+2＞0，
此不等式恒成立，故x≥2．
當x＜2時，不等式為-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，
故-1＜x＜2．
∴不等式：xf（x）+3＞0的解集為{x|x＞-1}．
（II）不等式f（x）＜m-|x|為|x-2|+|x|＜m，
∵y=|x-2|+|x|=

-(x-2)-x，x≤0 -(x-2)+x，0＜x≤2 (x-2)+x，x＞2

，
∴y=

-2x+2，x≤0 2，0＜x≤2 2x-2，x＞2

．
作出函數y=|x-2|+|x|的圖象如圖：
當-3＜x＜3時，2≤|x-2|+|x|＜8，
∴對任意x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|成立時，m的取值范圍是{m|m≥8}．

點評：本題考查不等式的解法和滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想、等價轉化思想、數形結合思想的合理運用．