Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集為（0，5），且在區(qū)間[-1，4]上的最大值為12，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式：

2x2+(m-10)x+5

f(x)

＞1(m＜0)．

Answer 1

分析：（1）由不等式解集的形式判斷出0，5是f（x）=0的兩個(gè)根，利用二次函數(shù)的兩根式設(shè)出f（x），求出f（x）在[-1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．
（2）將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，通過對兩個(gè)根-

5

m

，5的大小的討論寫出不等式的解集．

解答：解：

(1)由題設(shè)可設(shè)f(x)=ax(x-5)(a＞0)，在區(qū)間[-1，4]上的最大值為f(-1)=12， 得a=2，f(x)=2x2-10x(5分) (2)該不等式為 2x2+(m-10)x+5 2x2-10x ＞1(m＜0)，等價(jià)于x(x+ 5 m )(x-5)＜0(m＜0) 當(dāng)m＜-1，x∈(-∞，0)∪(- 5 m ，5)；(7分) 當(dāng)m=-1，x∈(-∞，0)；(9分) 當(dāng)-1＜m＜0，x∈(-∞，0)∪(5，- 5 m )(11分) 綜上所述：不等式的解集情況為(以上三種情況)(12分)

m＜-1時(shí)，解集為(-∞，0)∪(-

5

m

，5)
當(dāng)m=-1時(shí)，解集為（-∞，0）
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，解集為(-∞，0)∪(5，-

5

m

)

點(diǎn)評：解決二次不等式時(shí)要注意不等式的解集與相應(yīng)的方程的姐的關(guān)系；解決分式不等式時(shí)要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式．