Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x3+3x2+9x+1．

（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）求f（x）在點(diǎn)（﹣2，f（﹣2））處的切線方程．

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；（2）15x+y+27=0．

【解析】試題分析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只需對函數(shù)求導(dǎo)，解不等式 ，得出增區(qū)間，得出減區(qū)間，求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

試題解析：（1）函數(shù)f（x）=﹣x3+3x2+9x+1的導(dǎo)數(shù)為

f′（x）=﹣3x2+6x+9．

令f′（x）＜0，解得x＜﹣1，或x＞3，

可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；

（2）f′（x）=﹣3x2+6x+9，

可得f（x）在點(diǎn)（﹣2，f（﹣2））處的切線斜率為

k=﹣3×4﹣12+9=﹣15，切點(diǎn)為（﹣2，3），

即有f（x）在點(diǎn)（﹣2，f（﹣2））處的切線方程為y﹣3=﹣15（x+2），

即為15x+y+27=0．