Question

【題目】已知函數
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣ （sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣ ）
證明：
（1）存在唯一x0∈（0， ），使f（x0）=0；
（2）存在唯一x1∈（ ，π），使g（x1）=0，且對（Ⅰ）中的x0 ， 有x0+x1＜π．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵當x∈（0， ）時，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣ cosx＜0，

∴函數f（x）在（0， ）上為減函數，

又f（0）=π﹣ ＞0，f（ ）=﹣π2﹣ ＜0；

∴存在唯一的x0∈（0， ），使f（x0）=0；

（2）證明：考慮函數h（x）= ﹣4ln（3﹣ x），x∈[ ，π]，

令t=π﹣x，則x∈[ ，π]時，t∈[0， ]，

記函數u（t）=h（π﹣t）= ﹣4ln（1+ t），

則u′（t）= ﹣

= ﹣

= ﹣

=

= ，

由（Ⅰ）得，當t∈（0，x0）時，u′（t）＞0；

在（0，x0）上u（x）是增函數，又u（0）=0，∴當t∈（0，x0]時，u（t）＞0，

∴u（t）在（0，x0]上無零點；

在（x0， ）上u（t）是減函數，且u（x0）＞0，u（ ）=﹣4ln2＜0，

∴存在唯一的t1∈（x0， ），使u（t1）=0；

∴存在唯一的t1∈（0， ），使u（t1）=0；

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（ ，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；

∵當x∈（ ，π）時，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）與h（x）有相同的零點，

∴存在唯一的x1∈（ ，π），使g（x1）=0，

∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．

【解析】（1）根據x∈（0， ）時，f′（x）＜0，得出f（x）是單調減函數，
再根據f（0）＞0，f（ ）＜0，得出此結論；（2）構造函數h（x）= ﹣4ln（3﹣ x），x∈[ ，π]，令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零點t1∈（0， ），即證g（x）存在唯一的零點x1∈（ ，π），滿足x0+x1＜π．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．