Question

給出下列四個命題：
①在△ABC中，∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要條件；
②給定命題p，q，若“p或q”為真，則“p且q”為真；
③設a，b，m∈R，若a＜b，則am²＜bm²；
④若直線l₁：ax+y+1=0與直線l₂：x-y+1=0垂直，則a=1．
其中正確命題的序號是（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：①我們先用和差化積化簡sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，在△ABC中，可得cos

A+B

2

＞O，再由0＜B＜A＜π?0＜sin

A-B

2

＜1，進而可判斷出．
②弄清“p或q”命題、“p且q”命題的真假與命題p、q的真假之間的關系，可以判斷出②是否正確．
③要注意m²≥0，而當m=0時，am²=bm²，據此可判斷出答案．
④在兩直線的斜率存在的條件下，兩直線垂直的充要條件是：kl1kl2=-1，據此可以求出a=1．

解答：解：①∵sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，
由0＜A+B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A+B

2

＜1；由0＜B＜A＜π，∴0＜A-B＜π，∴0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜sin

A-B

2

＜1，
∴sinA-sinB＞0．
反之，若sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

＞0成立，∵0＜cos

A+B

2

＜1成立，∴sin

A-B

2

＞0，
又0＜A＜π，0＜B＜π，∴-

π

2

＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴A＞B成立．故①正確．
②命題p，q中有一個為真，則命題“p或q”為真，而只有當p與q都為真時，命題“p且q”才為真，故②是假命題．
③若m²=0時，雖然a＜b，但是am²=bm²，故③是假命題．
④∵l₁⊥l₂，∴kl1kl2=-1，∴（-a）×1=-1，∴a=1．所以④正確．
由以上可知①④正確．
故答案是B．

點評：本題考察復合命題的真假及充要條件．