Question

【題目】在四棱錐中，底面為正方形，.

（1）證明：面⊥面；

（2）若與底面所成的角為， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）要證面面垂直，一般先證線面垂直，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，則PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可證得結(jié)論．

（2）由線面角的定義可得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出面BPC和面DPC的法向量，再由法向量的夾角的余弦值得二面角的余弦．

（1）證明：連接AC,BD交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD為正方形，∴

∵，,∴,又∵,∴

又,∴.

（2）∵，過點(diǎn)P做,垂足為E

∴∵PA與底面ABCD所成的角為，∴,

又，設(shè),則

如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)面法向量為，

,∴，

，∴

同理的法向量，

∴求二面角的余弦值