Question

已知函數f(x)= (x<－2).

(1)求f(x)的反函數f^-－1(x);

(2)設a₁=1, =－f^－-1(a_n)(n∈N^*),求a_n;

(3)設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²,b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N^*,有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) y=f^－-1(x)=－ ，(x>0) (2) a_n= ，(3) 存在最小正整數m=6,使對任意n∈N^*有b_n<成立

解析:

(1)設y=,∵x<－2,∴x=－,

即y=f^－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，

∴{}是公差為4的等差數列，

∵a₁=1, =+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n=.

(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,

設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N^*上是減函數，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,

∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N^*有b_n<成立.