Question

已知函數f(x)=log2(

2

1-x

-1)，
（1）判斷函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若實數m滿足f（2m-1）＞f（1-m），求m 取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求得函數的定義域，利用奇函數的定義進行判斷；
（1）求得函數f(x)=log2(

2

1-x

-1)在（-1，1）上單調遞增，將不等式轉化為具體不等式，即可求m的取值范圍．

解答：解：（1）函數是奇函數；
由

2

1-x

-1＞0，可得-1＜x＜1，即函數的定義域為（-1，1）
∵f(x)=log2(

2

1-x

-1)=log2

1+x

1-x

∴f（-x）=log2

1-x

1+x

=-log2

1+x

1-x

=-f（x）
∴函數是奇函數；
（2）令y=

1+x

1-x

，則y′=

2

(1-x)2

＞0，∴y=

1+x

1-x

在（-1，1）上單調遞增
∴函數f(x)=log2(

2

1-x

-1)在（-1，1）上單調遞增
∵f（2m-1）＞f（1-m），
∴

-1＜2m-1＜1 -1＜1-m＜1 2m-1＞1-m

解得

2

3

＜m＜1．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．