Question

已知拋物線y²=4x，點A為其上一動點，P為OA的中點（O為坐標原點），且點P恒在拋物線C上，
（1）求曲線C的方程；
（2）若M點為曲線C上一點，其縱坐標為2，動直線L交曲線C與T、R兩點：
①證明：當動直線L恒過定點N（4，-2）時，∠TMR為定值；
②幾何畫板演示可知，當∠TMR等于①中的那個定值時，動直線L必經過某個定點，請指出這個定點的坐標．（只需寫出結果，不必證明）

Answer 1

（1）設P（x，y），則A（2x，2y）
∵A在拋物線y²=4x上，∴（2y）²=4（2x）即y²=2x
∴拋物線C的方程為y²=2x．------------------------------------------------（4分）
（2）①證明：∵M點為曲線C上一點，其縱坐標為2，
∴M（2，2）--------------------（5分）
當直線L垂直x軸即為x=4時，T(4，2

2

)，R(4，-2

2

)
此時，kMT•kMR=

2 2 -2

2

•

2 2 +2

-2

=-1，所以∠TMR=

π

2

．
∴可以猜∠TMR=

π

2

-------------------------------------------．（8分）
顯然直線L不能與x軸平行，∴可以設直線L為x-4=m（y+2）T（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
聯立y²=2x得到y²-2my-4m-8=0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4m-8-------------（10分）

MT • MR =(x1-2，y1-2)•(x2-2，y2-2) =(x1-2，)(x2-2)+(y1-2)(y2-2) =(my1+2m+2)(my2+2m+2)+(y1-2)(y2-2) =(m2+1)y1y2+(2m2+2m-2)(y1+y2)+(2m+2)2+4 =(m2+1)(-4m-8)+(2m2+2m-2)2m+(2m+2)2+4 =0

∴∠TMR=

π

2

--------------------------------------------------------（13分）
②定點為N（4，-2）---------------------------------------------------（14分）