Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，且f（c）=0，當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．
（1）當a=

1

3

，c=2時，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，且ac=

1

2

，求a的值；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2m+1對所有x∈[0，c]恒成立，求正實數m的最小值．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

3

，c=2代入二次函數f（x）=ax²+bx+c，根據f（x）＜0，解不等式即可；
（2）函數f（x）的圖象與x軸有兩個交點，得f（c）=0，可以求出其三個交點，從而求出其面積；
（3）已知f（0）=1，且f（x）≤m²-2m+1對所有x∈[0，c]恒成立，只要f（x）的最大值小于m²-2m+1，然后再解不等式；

解答：解：（1）當a=

1

3

，c=2時，f(x)=

1

3

x2+bx+2，
f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，
因為f（2）=0，
設另一個根為x₁，則2x₁=6，x₁=3．（2分）
則f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜3}．（4分）
（2）函數f（x）的圖象與x軸有兩個交點，因f（c）=0，
設另一個根為x₂，則cx2=

c

a

，于是x2=

1

a

．（6分）
又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則

1

a

＞c，
則三交點為(c，  0)，  (

1

a

，  0)，  (0，  c)，（8分）
這三交點為頂點的三角形的面積為S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，且ac=

1

2

，
解得a=

1

8

，  c=4．（10分）
（3）當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則

1

a

＞c，
所以f（x）在[0，c]上是單調遞減的，且在x=0處取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2m+1，對所有x∈[0，c]恒成立，
必須f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所有m²-2m+1≥1，即m²-2m≥0，
解得m≥2或m≤0，而m＞0，
所以m的最小值為2．（16分）

點評：此題主要考查二次函數的性質，及函數的恒成立問題，第一問比較簡單，第二問有一定的難度，是一道中檔題；