Question

如圖MN是半圓O的直徑，MN=2，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A、B在半圓弧上，且AB∥MN，點(diǎn)P半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則

PA

•

PB

的取值范圍是（　　）

• A．[

  3

  2

  ，

  3

  2

  +

  3

  ]
• B．[

  3

  2

  -

  3

  ，

  3

  2

  ]
• C．[

  3

  2

  -

  3

  ，

  3

  2

  +

  3

  ]
• D．[

  3- 3

  2

  ，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的數(shù)量積，由三角函數(shù)的知識(shí)化簡(jiǎn)后可求取值范圍．

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

由題意可得M（-1，0），N（1，0），A（

1

2

，

3

2

），B（-

1

2

，

3

2

），
P（cosα，sinα），其中α∈[0，π]，
故可得

PA

=（

1

2

-cosα，

3

2

-sinα），

PB

=（-

1

2

-cosα，

3

2

-sinα），
故

PA

•

PB

=（

1

2

-cosα）（-

1

2

-cosα）+（

3

2

-sinα）²=cos²α-

1

4

+

3

4

-

3

sinα+sin2α=

3

2

-

3

sinα，
∵α∈[0，π]，∴sinα∈[0，1]，-

3

sinα∈[-

3

，0]，
∴

3

2

-

3

sinα∈[

3

2

-

3

，

3

2

]，即

PA

•

PB

的取值范圍是[

3

2

-

3

，

3

2

]，
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)的取值范圍，建立坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．