Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，．，分別是，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在圖中作出點在底面的正投影，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）利用三角形中位線定理和線面平行的判定定理可以證明出平面；

（Ⅱ）利用等腰三角形三線合一的性質，可以證明線線垂直，根據線面垂直的判定定理，可以證明出線面垂直，最后根據面面垂直的判定定理，可以證明出平面平面；

（Ⅲ）通過面面垂直的性質定理，可以在△中，過作于即可.

（Ⅰ）證明：因為，分別是，的中點，

所以．

因為平面，

所以平面．

（Ⅱ）證明：因為，，是的中點，

所以，．

所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）解：在△中，過作于，則點為點在底面的正投影．

理由如下：

由（Ⅱ）知平面平面，且平面平面，

又平面，，

所以平面，

即點為點在底面的正投影．