Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

，
（Ⅰ）求證：平面SCB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐S-ABCD的體積；
（Ⅲ）求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用SO⊥底面ABCD，可證平面SCB⊥平面ABCD；
（II）利用余弦定理求得cos∠SBA，再利用三面角余弦公式求得cos∠SBA，從而求得OB，SO的長，然后利用棱錐的體積公式計算．
（III）先證明OA⊥OB，再以O點位原點建立空間直角坐標系，求得平面SAB的法向量，利用向量坐標運算求線面角的正弦．

解答：解：（ I）∵SO?平面SBC，SO⊥底面ABCD，
∴平面SCB⊥平面ABCD．
（II）∵AB=2，SA=SB=

3

，∴cos∠SBA=

4+3-3

2×2× 3

=

3

3

，
由三面角余弦公式得：cos∠SBA=cos∠SBO•cos∠ABC，即

3

3

=cos∠SBO•cos450⇒cos∠SBO=

6

3

又cos∠SBO=

OB

SB

，
∴OB=SBcos∠SBO=

3

×

6

3

=

2

又∵BC=2

2

，
∴O為BC的中點，SO=

SB2-OB2

=1，
∴VS-ABCD=

1

3

SABCD×SO=

1

3

×BC×AB×sin45°×SO=

1

3

×2

2

×2×

2

2

×1=

4

3

，
（ III）如圖，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（0，-

2

，0），D（

2

，-2

2

，0），S（0，0，1）
則

SA

=（

2

，0，-1），

AB

=（-

2

，

2

，0）

設

n

=（x，y，z）為平面SAB的一個法向量，
由

n ⊥ SA n ⊥ AB

可得：

n • SA =0 n • AB =0

即

2 x-z=0 - 2 x+ 2 y=0

 
取x=l，得

n

=（1，1，

2

）
而

SD

=（

2

，-2

2

，-1），
設直線，SD與平面SAB所成的角為θ，
則sinθ=

| SD • n |

| SD |•| n |

=

22

11

故直線SD與平面SAB所成角的正弦值為

22

11

點評：本題考查了面面垂直的證明．考查了棱錐的體積計算，考查了利用向量坐標運算求線面角的正弦值，考查學生的空間想象能力，運算能力，綜合性強．