Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，SD=AD，DF⊥SB垂足為F，E是SD的中點．
（Ⅰ）證明：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：平面SBD⊥平面DEF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定證明SA∥平面BDE，連接AC，AC∩BD=O，利用三角形的中位線，證明EO∥SA即可；
（Ⅱ）先證明DE⊥面SBC，可得DE⊥SB，利用DF⊥SB，DE∩DF=D，可證SB⊥平面DEF，利用面面垂直的判定可得結論．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，AC∩BD=O，連接OE，則O為AC的中點

∵E是SD的中點，∴EO∥SA
∵SA?平面BDE，EO?平面BDE
∴SA∥平面BDE；
（Ⅱ）∵E是SD的中點，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，SD=AD，
∴DE⊥SC，BC⊥DE
∵SC∩BC=C
∴DE⊥面SBC
∵SB?面SBC
∴DE⊥SB
∵DF⊥SB，DE∩DF=D
∴SB⊥平面DEF
∵SB?平面SBD
∴平面SBD⊥平面DEF．

點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，解題的關鍵是掌握線面平行、面面垂直的判定方法，屬于中檔題．