Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，SB=

7

，∠BAD=120°，E在棱SD上，且SE=3ED．
（I）求證：SD⊥平面AEC；
（II）求直線AD與平面SCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意易知CA⊥AD，通過所給條件證明SD⊥AC即有線線垂直得到線面垂直．也可利用空間向量求直線與平面的夾角為90°．
（2）幾何法求直線與平面的夾角重點是找垂線作出線面角，用空間向量求直線與平面的夾角的重點是以A為坐標(biāo)原點AC、AD、SA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求法向量n=(1，

3

，1)

解答：解：（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，由AD=1，CD=2，∠BAD=120°，
易知CA⊥AD，
又SA⊥平面ABCD
SD在平面ABCD上的射影為AD，∴SD⊥AC，
在直角三角形SAB中，易得SA=

3

，
在直角三角形SAD中，∠ADE=60°，SD=2，
又SE=3ED，∴DE=

1

2

，
可得AE=

AD2+DE2-2AD•DEcos600

=

1+ 1 4 -2× 1 2 × 1 2

=

3

2

．
∴SD⊥AE，
又∵AC∩AE=A，∴SD⊥平面AEC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥平面AEC，所以平面AEC⊥平面SCD，
過A作AF⊥EC于F，則AF⊥平面SCD．
可得∠ADF為直線AD與平面SCD所成的角．
因為AC=

3

，AE=

3

2

，所以CE=

3+ 3 4

=

15

2

，
所以AF=

AC×AE

CE

=

15

5

在Rt△ADF中，sin∠ADF=

AF

AD

=

15

5

，
直線AD與平面SCD所成角的大小為arcsin

15

5

．
解法二：依題意易知CA⊥AD，SA⊥平面ACD．以A為坐標(biāo)原點，AC、AD、SA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則易得A(0，0，0)，C(

3

，0，0)，D(0，1，0)，S(0，0，

3

)，
（Ⅰ）由SE：ED=3有E(0，

3

4

，

3

4

)，
易得

SD • AC =0 SD • AE =0

，從而SD⊥平面ACE
（Ⅱ）設(shè)平面SCD的法向量為n=（x，y，z）
則

n• DC = 3 x-y=0 n• SD =y- 3 z=0.

，令z=1，得n=(1，

3

，1)
從而cos＜

AD

，n＞=

AD •n

| AD ||n|

=

0•1+ 3 •1+ 3 2 •1

1• 5

=

15

5

所以AD與平面SCD所成角大小為arcsin

15

5

．

點評：通過對空間幾何圖形的探究，使學(xué)生會恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系；通過空間向量的坐標(biāo)表示法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷對空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計算”的轉(zhuǎn)化過程，從而提高分析問題、解決問題的能力．