【題目】三棱柱
中，
為
的中點，點
在側(cè)棱
上，
平面
(1) 證明：是的中點；
(2) 設(shè)
,四邊形
為邊長為4正方形，四邊形
為矩形，且異面直線
與
所成的角為
，求該三棱柱的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2)32.
【解析】
（1）利用棱柱的性質(zhì)以及相似三角形判斷定理，證得
，從而得到
；連接
分別交
于
，連
，利用線面平行性質(zhì)定理證得
，從而得到
；再證得
，從而得到
，結(jié)論得證.
（2）取
的中點
，連接
，則
或其補角為異面直線
與
所成的角，結(jié)合題目條件，設(shè)
，分別求出
，再利用余弦定理，即可建立方程求出
，從而求出三棱柱
的體積.
(1)證明：連接分別交于，連，
∵平面
，
平面
，平面
平面=，∴,
又∵在三棱柱側(cè)面
中，
為
的中點，
由
可得，
，所以，
故，
，∴，
在平面
中同理可證得，
故有
是
的中點.
(2)取的中點，連接，可知
，
故或其補角為異面直線與所成的角，
設(shè)，則在
中，可求
，
則余弦定理可求：
，解得：
，
故
.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點為
，右焦點為
，設(shè)M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩動點，且直線
與直線
平行，
與
交于點D．
（Ⅰ）求和的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求
的最小值；
（Ⅲ）求證：
是定值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列命題：
①若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，則樣本的方差不變；
②在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；
③設(shè)隨機變量
服從正態(tài)分布
，若
，則
；
④對分類變量
與
的隨機變量
的觀測值
來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大.其中正確的命題序號是（ ）
A.①②B.①②③C.①③④D.②③④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】足球是世界普及率最高的運動，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色學(xué)校y（百個） | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強弱.
（已知：
，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強；
，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；
，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較）：
（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個數(shù)（精確到個）.
參考公式和數(shù)據(jù)：
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓心
為的圓，滿足下列條件：圓心位于
軸正半軸上，與直線
相切且被軸
截得的弦長為
，圓的面積小于13.
（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過點
的直線
與圓交于不同的兩點
，以
為鄰邊作平行四邊形
.是否存在這樣的直線，使得直線
與
恰好平行?如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)兩個向量
，
滿足||＝2，||＝1，，的夾角為60°，若向量2t
7與向量t的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取
個作為樣本，稱出它們的重量(單位:克)重量分組區(qū)間為
，
，
，
，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）.
（1）求
的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均數(shù)（精確到0.01）；
（2）從盒子中裝的大量小球中，隨機抽取3個小球，其中重量在內(nèi)的小球個數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義：從數(shù)列
中抽取
項按其在中的次序排列形成一個新數(shù)列
，則稱為的子數(shù)列；若成等差（或等比），則稱為的等差（或等比）子數(shù)列.
（1）記數(shù)列的前
項和為
，已知
.
①求數(shù)列的通項公式；
②數(shù)列是否存在等差子數(shù)列，若存在，求出等差子數(shù)列；若不存在，請說明理由.
（2）已知數(shù)列的通項公式為
，證明：存在等比子數(shù)列.
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