Question

【題目】已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心位于軸正半軸上，與直線相切且被軸截得的弦長為，圓的面積小于13.

（Ⅰ）求圓的標準方程；

（Ⅱ）設過點的直線與圓交于不同的兩點，以為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行?如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 不存在這樣的直線.

【解析】試題分析：（I）用待定系數法即可求得圓C的標準方程；（Ⅱ）首先考慮斜率不存在的情況.當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l與圓C相交于不同的兩點，那么Δ>0.由題設及韋達定理可得k與x1、x2之間關系式，進而求出k的值.若k的值滿足Δ>0，則存在；若k的值不滿足Δ>0，則不存在.

試題解析：（I）設圓C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由題意知

解得a=1或a=， 3分

又∵S=πR2<13，

∴a=1，

∴圓C的標準方程為：(x-1)2+y2=4． 6分

（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．

當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又∵l與圓C相交于不同的兩點，

聯立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， 9分

∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，

解得或．

x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，

，，

假設∥，則，

∴，

解得，假設不成立．

∴不存在這樣的直線l． 13分