Question

（2013•鄭州一模）某高校組織自主招生考試，共有2000名優秀學生參加筆試，成績均介于195分到275分之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統計，將統計結果按如下方式分成八組：第一組[195，205），第二組[205，215），…，第八組[265，275]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績在260分（含260分）以上的同學進入面試．
（I）估計所有參加筆試的2000名學生中，參加 面試的學生人數；
（II）面試時，每位考生抽取三個問題，若三個問 題全答錯，則不能取得該校的自主招生資格；若三個 問題均回答正確且筆試成績在270分以上，則獲A類資格；其它情況下獲B類資格．現已知某中學有三人獲得面試資格，且僅有一人筆試成績為270分以上，在回答兩個面試問題時，兩人對每一個問題正確回答的概率均為

1

2

，求恰有一位同學獲得該高校B類資格的概率．

Answer 1

分析：（1）設第i（i=1，2…8）組的頻率為f_i，可得f₇，可得成績在260分以上的同學的概率p，從而可求出參加面試的學生人數；
（2）不妨設兩位同學為M，N，且M的成績在270分以上，則對于M，答題的可能有M₁₁，M₁₀，M₀₁，M₀₀，對于N，答題的可能有N₁₁，N₁₀，N₀₁，N₀₀，其中角標中的1表示正確，0表示錯誤，如N₁₀表示N同學第一題正確，第二題錯誤，將兩位同學的答題情況列出來，根據古典概型的概率公式可求出所．

解答：解：（1）設第i（i=1，2，…，8）組的頻率為f_i，
則由頻率分布直方圖知f₇=1-（0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008）×10=0.12．
所以成績在260分以上的同學的概率p≈

f7

2

+f8=0.14，
故這2000名同學中，取得面試資格的約為280人；
（2）不妨設兩位同學為M，N，且M的成績在270分以上，
則對于M，答題的可能有M₁₁，M₁₀，M₀₁，M₀₀，對于N，答題的可能有N₁₁，N₁₀，N₀₁，N₀₀，
其中角標中的1表示正確，0表示錯誤，如N₁₀表示N同學第一題正確，第二題錯誤，
將兩位同學的答題情況列表如下：

	M11	M10	M01	M00
N11	AB	BB	BB	CB
N10	AB	BB	BB	CB
N01	AB	BB	BB	CB
N00	AC	BC	BC	CC

表中AB表示M獲A類資格，N獲B類資格；BC表示M獲B類資格，N沒有獲得資格．所以恰有一位同學獲該高校B類資格的概率為

8

16

=

1

2

．

點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及古典概型及其概率計算公式，同時考查了分析問題的能力，運算求解的能力和轉化的思想，屬于中檔題．