Question

已知定義在R上的函數f（x）=ax³+bx+c（a，b，c∈R），當x=-1時，f（x）取得極大值3，f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知實數t能使函數f（x）在區間（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，記所有的實數t組成的集合為M．請判斷函數的零點個數．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用條件當x=-1時，f（x）取得極大值3，即f（-1）=3，f'（-1）=0，以及f（0）=1，三個條件建立方程組，可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）要使函數在區間（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，則等價為f'（x）=0在區間（t，t+3）上有兩個不同的根，進而實現轉化．
解答：解：（1）由f（0）=1得c=1．
又當x=-1時，f（x）取得極大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
，
得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1時取得極值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分），，
∴當x∈M時，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上遞減．
又
∴函數的零點有且僅有1個．
點評：本題考查導數與極值之間的關系．利用條件先求出函數的表達式．然后將函數進行等價轉化．