Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．

（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當PD=2AB，且E為PB的中點，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，

∴PD⊥AC，

底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，

又AC平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB．

（2）解：分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

不妨設AB=2，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），

=（0，2，0）， =（﹣1，1，2），

取平面ABC的一個法向量為 ，

設平面ABE的法向量 ，則 ，可得 ，取 =（2，0，1）．

∴ = = = ．

∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性質可得：AC⊥BD，再利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明．（2）分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角公式即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．