Question

【題目】設橢圓C： （a＞2 ）的右焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，且滿足 ，其中O 為坐標原點，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：|AN||BM|為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設F（c，0），由 ，得： ，故a2﹣c2=b2=8c2，

∴c2=1，a2=9

故橢圓C的方程為：

（2）證明：由（1）知： ，設P（x0，y0），則

當x0=0時， ，

故：

當x0≠0時，直線PA的方程為： ，令x=0，得： ，

故： ，

直線PB的方程為： ，令y=0，得： ，

故： ．

所以

=

綜上可知： ，即|AN||BM|為定值

【解析】（1）由 ，可知 ，整理得：a2﹣c2=b2=8c2 ， 即可求得a和c的值，求得橢圓方程；（2）由（1）可知，求得A和B點坐標，當x0=0時，求得M和N點坐標，求得|AN|和BM|，即可求得 ，當x0≠0時，求得直線PA和PB的直線方程，求得點M和N的坐標，求得|AN|和BM|，即可求得|AN||BM|為定值．