Question

已知函數f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，其中ω是使f（x）能在x=

π

3

處取得最大值時的最小正整數．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac且邊b所對的角θ的取值集合為A，當x∈A時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的余弦、正弦函數以及二倍角公式公式，化簡函數f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

為：f（x）=2sin(ωx-

π

6

)-1，然后利用在x=

π

3

處取得最大值，求出最小正整數ω的值．
（Ⅱ）設△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，利用余弦定理、基本不等式求出a=c，推出θ的范圍，利用三角函數的有界性，求f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-(1+cosωx)=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)-1=2sin(ωx-

π

6

)-1
由題意得ω

π

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得ω=6k+2，k∈Z
當k=0時，最小正整數ω的值為2，故ω=2．
（Ⅱ）因b²=ac且b²=a²+c²-2accosθ
則2cosθ+1=

a

c

+

c

a

≥2當且僅當

a

c

=

c

a

，a=c時，等號成立
則cosθ≥

1

2

，又因θ∈（0，π），則0＜θ≤

π

3

，即A={x|0＜x≤

π

3

}
由①知：f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1
因0＜x≤

π

3

，則-

π

6

＜2x-

π

6

≤

π

2

，-

1

2

＜sin(4x-

π

6

)≤1-2＜f（x）≤1，
故函數f（x）的值域為：（-2，1]．

點評：本題是基礎題，考查兩角和與差的正弦函數、余弦函數以及二倍角的應用，函數的性質，最值的求法，處理相關的多個問題時，前一問的解答是后邊解答的依據，考查學生的細心程度，計算能力．