Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=

2

，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求異面直線AD與BE所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理證明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）利用AD∥BC，將異面直線AD與BE所成的角，轉化為平面角．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=O，連接EO，
∵四邊形ABCD為矩形，∴O為AC的中點．
∴OE為△PAC的中位線．
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB．…（6分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，∴∠CBE就是異面直線AD與BE所成的角或補角．…（8分）
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PD．
又四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥DC．又因為PD∩DC=D，
所以BC⊥平面PDC．
在Rt△BCE中BC=

2

，EC═

1

2

PC=

2

，∴∠CBE=

π

4

．
即異面直線AD 與BE所成角大小為

π

4

．                    …（12分）

點評：本題主要考查線面平行的判定，以及異面直線所成角的大小，要求熟練掌握空間直線和平面平行或垂直的位置關系的判定定理和性質定理．